límites matemáticos

HISTORIA DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS

Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo , utilizando el <<>>.consistía en cubrir o ( agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. sumando las áreas de los triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo . sin embargo. no dieron una definición rigurosa del procedimiento.El matemático francés Augustine-louis cauchy(1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite. la definición que usaremos aquí se remonta al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897)


IMPORTANCIA DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS

Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado.
cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0.
como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una función.

CONCEPTO DE LÍMITE MATEMÁTICO

El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesiòn o una funciòn, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En càlculo analisís real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

AUTORES

ISAAC NEWTON

(4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático. (especialmente en

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.

Entre sus hallazgos científicos se encuentran los siguientes: el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de conducción térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange"Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo." (1736–1813), dijo que

DESARROLLO DE CÁLCULO DE NEWTON

De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes número terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados.

Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la Geometría Analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.

Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

KEPLER

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratisbona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), figura clave en la revolución científica, astrónomo y matemático alemán; fundamentalmente conocido por sus leyes sobre el movimiento de los planetas sobre su orbita alrededor del sol . Fue colaborador de Tycho Brahe, a quien sustituyó como matemático imperial de Rodolfo.

Kepler nació en el seno de una familia de religión protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil-der-Stadt en Alemania (Baden-Wurtemberg). Su abuelo había sido el alcalde de la ciudad, pero cuando nació Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era mercenario en el ejército del Duque de Württemberg y, siempre en campaña, raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Catherine, que llevaba una casa de huéspedes, era una curandera y herbalista, que más tarde será acusada de brujería. Kepler, nacido prematuramente a los siete meses de embarazo e hipocondríaco de naturaleza endeble, sufrió toda su vida una salud frágil. A la edad de tres años, contrae la viruela, lo que, entre otras secuelas, debilitará su vista severamente. A pesar de su salud, fue un niño brillante que gustaba impresionar a los viajeros en el hospedaje de su madre con sus fenomenales facultades matemáticas.

Heinrich Kepler tuvo además otros dos hijos menores: Margarette, con la que Kepler se sentía muy próximo, y Christopher, que le fue siempre antipático. Del 1574 al 1576, vivió con su Heinrich - un epiléptico - en casa de sus abuelos mientras que su padre estaba en una campaña y su madre se había ido en su búsqueda.

Al regresar sus padres, Képler se traslada a Leonberg y entra en la escuela latina en 1577. Sus padres le hacen despertar el interés por la astronomía. Con cinco años, observó el cometa de 1577, comentando que su madre lo llevó a un lugar alto para verlo. Su padre le muestra a la edad de nueve años el eclipse de luna del 31 de enero de 1580, recordando que la Luna aparecía bastante roja. Kepler estudiará más tarde el fenómeno y lo explicará en una de sus obras de óptica. Su padre parte de nuevo para la guerra en 1589, desapareciendo para siempre.

Kepler termina su primer ciclo de tres años en 1583, retardado debido a su empleo como jornalero agrícola, entre nueve y once años. En 1584, entra en el Seminario protestante de Adelberg y dos años más tarde, al Seminario superior de Maulbronn.

Obtiene allí su diploma de fin de estudios y entra en 1589 en la universidad de Tubinga. Allí, comienza primeramente por estudiar la ética, la dialéctica, la retórica, griego, el hebreo, la astronomía y la física, y luego más tarde la teología y las ciencias humanas. Continúa allí con sus estudios después de obtener una maestría en 1591. Su profesor de matemáticas, el astrónomo Michael Maestlin, le enseñó el sistema heliocéntrico de Copérnico que se reservaba a los mejores estudiantes. Los otros estudiantes tomaban como cierto el sistema geocéntrico de Ptolomeo, que afirmaba que la Tierra estaba inmóvil y ocupaba el centro del Universo, y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas, giraban a su alrededor. Kepler se hizo así un copernicano convencido y mantuvo una relación muy estrecha con su profesor; no vaciló en pedirle ayuda o consejo para sus trabajos.

Mientras que Kepler planeaba hacerse ministro luterano, la escuela protestante de Graz busca a un profesor de matemáticas. Abandona entonces sus estudios en teología para tomar el puesto y deja Tubinga en 1594. En Graz, publica almanaques con predicciones astrológicas - que los realizaba - aunque el negaba algunos de sus preceptos. En la época, la distinción entre ciencia y creencia no estaba establecida todavía claramente y el movimiento de los astros, todavía bastante desconocido, estaba gobernado por leyes divinas.

Kepler estuvo casado dos veces. El primer matrimonio, de conveniencia, el 27 de abril de 1597 con Barbara Müller. En el año 1600, fue obligado a abandonar Austria cuando el archiduque Francisco Fernando promulgó un edicto contra los protestantes. En octubre de ese mismo año se trasladó a Praga, donde fue invitado por Tycho Brahe, quien había leído algunos trabajos de Kepler. Al año siguiente, Tycho Brahe falleció y Kepler lo sustituyó en el cargo de matemático imperial de Rodolfo II y trabajó frecuentemente como consejero astrológico.

En 1612 falleció su esposa Barbara Müller, al igual que dos de los cinco niños - de edades de apenas uno y dos meses - que habían tenido juntos. Este matrimonio, organizado por sus allegados, lo unió a una mujer "grasa y simple de espíritu", con carácter execrable. Otro de sus hijos murió a la edad de siete años. Sólo su hija Susanne y su hijo Ludwig sobrevivirán. Al año siguiente, en Linz, se casó con Susanne Reuttinger con la que tuvo siete niños entre los que tres fallecerán muy temprano. Un matrimonio, esta vez, feliz.

En 1615, su madre, entonces a la edad de 68 años, es acusada de brujería. Kepler, persuadido de su inocencia, va a pasar seis años asegurando su defensa ante los tribunales y escribiendo numerosos alegatos. Debió, dos veces, regresar en Wurtemberg. Ella pasó un año encerrada en la torre de Güglingen a expensas de Kepler habiendo escapado por poco de la tortura. Finalmente, fue liberada el 28 de septiembre de 1621. Debilitada por los duros años de proceso y de encarcelamiento, muere seis meses más tarde.

Kepler muere en 1630 en Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 59 años.

En 1632, durante la Guerra de los Treinta Años, el ejército sueco destruyó su tumba y se perdieron sus trabajos hasta el año 1773. Recuperados por Catalina II de Rusia, se encuentran actualmente en el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo, Rusia.

LEYES DE KEPLER

Durante su estancia con Tycho le fue imposible acceder a los datos de los movimientos aparentes de los planetas ya que Tycho se negaba a dar esa información. Ya en el lecho de muerte de Tycho y después a través de su familia, Kepler accedió a los datos de las órbitas de los planetas que durante años se habían ido recolectando. Gracias a esos datos, los más precisos y abundantes de la época, Kepler pudo ir deduciendo las órbitas reales planetarias. Afortunadamente, Tycho se centró en Marte, con una elíptica muy acusada, de otra manera le hubiera sido imposible a Kepler darse cuenta de que las órbitas de los planetas eran elípticas. Inicialmente Kepler intentó el círculo, por ser la más perfecta de las trayectorias, pero los datos observados impedían un correcto ajuste, lo que entristeció a Kepler ya que no podía saltarse un pertinaz error de ocho minutos de arco. Kepler comprendió que debía abandonar el círculo, lo que implicaba abandonar la idea de un "mundo perfecto". De profundas creencias religiosas, le costó llegar a la conclusión de que la tierra era un planeta imperfecto, asolado por las guerras, en esa misma misiva incluyó la cita clave: "Si los planetas son lugares imperfectos, ¿por qué no deben de serlo las órbitas de las mismas?". Finalmente utilizó la fórmula de la elipse, una rara figura descrita por Apolonio de Pérgamo una de las obras salvadas de la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Descubrió que encajaba perfectamente en las mediciones de Tycho.

Había descubierto la primera ley de Kepler:

• Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los focos de la elipse.

Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se anteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler se dedicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las órbitas llegando a la segunda ley:

• Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas iguales en el mismo tiempo.

Durante mucho tiempo, Kepler solo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de planetas. Aun así fue un logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió la tercera e importantísima ley del movimiento planetario:

• El cuadrado de los períodos de los planetas es proporcional al cubo de la distancia media al Sol.

Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes permitía ya unificar, predecir y comprender todos los movimientos de los astros. Marcando un hito en la historia de la ciencia, Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el primer astrónomo, desechando la fe y las creencias y explicando los fenómenos por la mera observación.

LEIBNIZ

Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716) fue un filósofo, matemático, jurista, bibliotecario y político alemán.

Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII, y se le reconoce como el "último genio universal". Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Incluso Denis Diderot, el filósofo deísta francés del siglo XVIII, cuyas opiniones no podrían estar en mayor oposición a las de Leibniz, no podía evitar sentirse sobrecogido ante sus logros, y escribió en la Enciclopedia: "Quizás nunca haya un hombre leído tanto, estudiado tanto, meditado más, y escrito más que Leibniz... Lo que ha elaborado sobre el mundo, sobre Dios, la naturaleza y el alma es de la más sublime elocuencia. Si sus ideas hubiesen sido expresadas con el olfato de Platón, el filósofo de Leipzig no cedería en nada al filósofo de Atenas."^[2] De hecho, el tono de Diderot es casi de desesperanza en otra observación, que contiene igualmente mucho de verdad: "Cuando uno compara sus talentos con los de Leibniz, uno tiene la tentación de tirar todos sus libros e ir a morir silenciosamente en la oscuridad de algún rincón olvidado." La reverencia de Diderot, contrasta con los ataques que otro importante filósofo, Voltaire, lanzaría contra el pensamiento filosófico de Leibniz; a pesar de reconocer la vastedad de la obra de éste, Voltaire sostenía que en toda ella no había nada útil que fuera original, ni nada original que no fuera absurdo y risible.

Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la historia de la filosofía como en la de las matemáticas. Descubrió el cálculo infinitesimal, independientemente de Newton, y su notación es la que se emplea desde entonces. También descubrió el sistema binario, fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales.

Junto con René Descartes y Baruch Spinoza, es uno de los tres grandes racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza también con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz también hizo contribuciones a la tecnología, y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería y ciencias de la información. Sus contribuciones a esta vasta lista de temas está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa de sus escritos, y por ello no es posible aún hacer un recuento integral de sus logros.

PRINCIPIO DE RAZON SUFICIENTE DE LEIBNIZ

El principio de razón suficiente, enunciado en su forma más acabada por Gottfried Leibniz en su Teodicea, afirma que no se produce ningún hecho sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo. De ese modo, sostiene que los eventos considerados azarosos o contingentes parecen tales porque no disponemos de un conocimiento acabado de las causas que lo motivaron.

El principio de razón suficiente es complementario del principio de no contradicción, y su terreno de aplicación preferente son los enunciados de hecho; el ejemplo tradicional es el enunciado "César pasó el Rubicón", del cual se afirma que, si tal cosa sucedió, algo debió motivarlo.

De acuerdo a la concepción racionalista, el principio de razón suficiente es el fundamento de toda verdad, porque nos permite establecer cuál es la condición —esto es, la razón— de la verdad de una proposición. Para Leibniz, sin una razón suficiente no se puede afirmar cuándo una proposición es verdadera. Y dado que todo lo que sucede sucede por algo, es decir, si todo lo que sucede responde siempre a una razón determinante, conociendo esa razón se podría saber lo que sucederá en el futuro. Éste es el fundamento de la ciencia experimental.

Sin embargo, dados los límites del intelecto humano, hemos de limitarnos a aceptar que nada ocurre sin razón, a pesar de que dichas razones muy a menudo no pueden ser conocidas por nosotros.

Una de las consecuencias generales para la física del principio de razón suficiente fue condensada por Leibniz en forma de aforismo: "En el mejor de los mundos posibles la naturaleza no da saltos y nada sucede de golpe", lo cual vincula dicho principio con el problema del continuo y de la infinita divisibilidad de la materia.

LÍMITE (GRAFICA)

Analicemos la función g(x)=x3-2x

solución

* es una función polinómica, luego su dominio es constituido por todos los números reales.

*intersecciones con los ejes coordenados.

si x=0, entonces g(x)=0. la intersección con el eje y es el punto (0,0).

factorizamos el polinomio para hallar las intersecciones con el eje x o ceros de la función:

g(x)=x3-2x

=x(x2-2)

TEOREMA DE UNICIDAD Y LATERALIDAD
UNICIDAD

Este teorema afirma que, en ciertas condiciones sobre f(x,y), el problema con valor incial:

Înter%y’ = f (x,y), y(x₀) = y₀

tiene solucion unica en algun intervalo que contega el punto x₀.

En algunos casos la exitencia de una solucion del problema con valor incial puede establcercese de manera directa al resolver realmente el problema y exhibir una formula para solucion. Sin embargo, en general, este enfoque indirecto que establece la exitencia de una solucion de las ecuaciones, pero que, por lo general no proporciona un medio practico para hallarla.

xistencia y unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?

Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?

Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

LATERALIDAD